Будем считать, что сила трения качения пренебрежимо мала, а также пренебрежем сопротивлением воздуха. Тогда для обоих случаев должен выполняться закон сохранения полной механической энергии.
1) Таким образом в обоих случаях цилиндры движутся под действием составляющей силы тяжести параллельной наклонной плоскости. Из второго закона Ньютона получим:
, отсюда
--------(1)
где - ускорение поступательного движения цилиндра.
С другой стороны ускорение равно:
-------(2)
где - начальная скорость (по условию)
- скорость цилиндра через промежуток времени
, когда он коснется первый раз горизонтали.
Из (1) и (2) найдем искомое время :
---------(3)
2) Конечную скорость найдем с помощью закона сохранения механической энергии:
------(4)
------(5)
где - момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии;
--------(6)
- угловая скорость вращения цилиндра
Подставим в (4) вместо и
выражения (5) и (6), получим после сокращения:
, отсюда
----------(7)
Подставим в (3) вместо выражение (7), получим расчетную формулу для искомого времени:
Расчет времени:
а) Для сплошного цилиндра, для которого :
с
б) Для тонкостенного цилиндра, для которого :