Question

Найти точку, в которой касательная к кривой
y = 4x - x^2 перпендикулярна к прямой
x - 2y + 6 = 0 . Написать уравнение этой касательной и нормали.

Answer 1

Данная прямая будет иметь вид у=0,5х+3. Ееугловой коэффициент равен к=0,5. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой находится к1= - 1/к = -2.
 Теперь ищем точку, в которой производная будет равна -2.
y' = 4-2x.
4-2x=-2
x=3. Это точка касания, угловой коэффициент искомой касательной равен -2.
Уравнение касательной составим в виде  у-у0 = к*(х-х0)
у0 = у(3) = 4*3-3^2=3.
 Уравнение касательной у-3 =-2(х-3); у=-2х+9.
Уравнение нормали у-3 = 0,5(х-3); у=0,5х+1,5. На чертеже данная прямая - черная, касательная - красная, нормаль - зеленая.