Поскольку боковые грани пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, высота пирамиды проходит либо через центр вписанной, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания. Пусть высота пирамиды проходит через центр O вписанной окружности основания ABC данной треугольной пирамиды ABCD , в которой AC = 3 ,BC = 4 , AB = 5 . Так как
AC2 + BC2 = 9 + 16 = 25 = AB2,
то треугольник ABC – прямоугольный. Пусть O центр вписанной окружности треугольника ABC (рис.1), r – её радиус, M – точка касания окружности со стороной AB . Тогда
r = (AC + BC - AB) = (3+4-5) = 1.
Так как OM  AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DM  AB , поэтому DMO – линейный угол двугранного угла между боковой гранью DAB и плоскостью основания пирамиды. По условию задачи  DMO = 45o . Из прямоугольного треугольника DMOнаходим, что
DO = OM = r = 1.
Пусть Oc центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны AB (рис.2), rc – её радиус, N – точка касания окружности со стороной AB . Тогда
rc = (AC + BC + AB) = (3+4+5) = 6.
Аналогично предыдущему из прямоугольного треугольника DNOнаходим, что
DOc = ON = rc = 6.
Пусть Ob – центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны AC , rb – её радиус, K – точка касания окружности со стороной AC . Тогда
rb =  (AB + BC - AC) = (5+4-3) = 3.
Из прямоугольного треугольникаDKO находим, что
DOb = OK = rb = 3.
Пусть Oa центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны BC , ra – её радиус, L – точка касания окружности со стороной AC . Тогда
ra = (AB + AC - BC) = (5+3-4) = 2.
Из прямоугольного треугольникаDLO находим, что
DOa = OL = ra = 2.
Координаты середины диагонали АС
О = 1/2(А+С) = (1/2;1;3)
И координаты этой же точки как середины диагонали ВД
О = 1/2(В+Д)
2О = В+Д
Д = 2О-В = (1;2;6) - (2;-1;5) = (-1;3;1)
Т.к. сумма смежных углов равен 180° имеем:
180-32=148°
