Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, E, F, K, L - середины сторон трапеции, тогда EK=15 см - средняя линия трапеции, FL=6 см - высота и O=FL∩EK - точка пересечения диагоналей четырехугольника EFKL.
Так как диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то полученный четырехугольник - параллелограмм (по признаку параллелограмма). А так как ЕК║AD и EK║BC (как средняя линия) и высота FL⊥AD и FL⊥BC, то FL⊥EK, значит диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, поэтому параллелограмм EFKL - ромб (признак ромба).
Площадь ромба можно найти по формуле:
S=1/2*d1*d2, где d1 и d2 - диагонали ромба.
S=1/2*6*15=45 (см²).
Ответ: 45 см².
1. ВС = (AC*sinA)/sinB = (5√6 / 2√2) / 1/2 = 2 * (5√6 / 2√2) = 5√3 см.
2. Судя по всему, автор учебника опечатался, а на самом деле хотел написать XOY и XTY. Раз XTY = 70°, то дуга, на которую он опирается, равна 140°. Но на эту же дугу опирается и XTY, поэтому этот угол равен 1/2 от 140° = 70°. Если же автор не опечатался, то данную задачу решить невозможно, т.к. угол XYO может иметь много значений.
3. Бисектриса острого угла в параллелограмме делит противоположную углу сторону на 2 части, из которых одна часть равна соседней стороне (из-за создания равнобедренного треугольника, основанием которого и является эта бисектриса).
Получается, что MD = CD = 8 см.
Теперь найдём вторую неизвестную сторону параллелограмма:
AM + MD = AD = 8+2 = 10 см.
Теперь найдём периметр: 8+10+8+10 = 36 см.
AC/NC=8/4=2
BC/MC=12/6=2
AB/MN=12/x=2
x=12/2=6 cm
В условии ничего не сказано, где расположены точки E, F, D.
Так как в треугольник вписана окружность, можно предположить, что E, F, D - точки касания. Тогда возможно 4 варианта расположения точек с учётом угла ∠EOF = 126°
Для решения нужно знать:
Радиус в точку касания образует прямой угол с касательной.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°
1) Точки E и D - точки касания катетов, F - точка касания гипотенузы
Четырёхугольник AFOE :
∠A = 360°-∠EOF -∠AEO -∠AFO = 360°-126°-90°-90° = 54°
ΔABC - прямоугольный, ∠B = 90°, ∠A = 54°
∠С = 90° - ∠A = 90° - 54° = 36°
BEOD - квадрат ⇒ ∠DOE = 90°
Четырёхугольник CFOD :
∠FOD = 360° -∠CFO -∠CDO -∠C = 360°-90°-90°-36° = 144°
2) Точки F и D - точки касания катетов, E - точка касания гипотенузы
Четырёхугольник CFOE :
∠C = 360°-∠EOF -∠CEO -∠CFO = 360°-126°-90°-90° = 54°
ΔABC - прямоугольный, ∠B = 90°, ∠C = 54°
∠A = 90° - ∠C = 90° - 54° = 36°
BFOD - квадрат ⇒ ∠DOF = 90°
Четырёхугольник AEOD :
∠EOD = 360° -∠AEO -∠ADO -∠A = 360°-90°-90°-36° = 144°
Как видно из решения, меняются обозначения точек, но величины углов получаются одинаковыми. Такими же они и останутся для вариантов 3 и 4, если обозначение точек касания катетов поменять местами.
Ответ независимо от буквенного обозначения:
острые углы будут равны 54° и 36°,
центральные углы будут равны 126°, 90°, 144°