Строим перпендикуляры АО, ВО1, СО2 от вершин к средней линии треуг-ка МК. Нужно доказать, что АО=ВО1=СО2.
Рассмотрим треуг-ки ВКО1 и СКО2. Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников):
- ВК=СК, т.к. МК - средняя линия АВС;
- <BKO1=<CKO2 как вертикальные углы;
- <O1BK=<O2CK как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВО1 и СО2 секущей ВС (BO1 II CO2, т.к. две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Раз они не пересекаются, значит параллельны).
У равных треугольников ВКО1 и СКО2 равны соответственные стороны ВО1 и СО2.
Рассмотрим треугольники ВМО1 и АМО. Они также равны по второму признаку равенства треуг-ов:
- АМ=ВМ, т.к. МК - средняя линия АВС;
- <BMO1=<AMO как вертикальные углы;
- <O1BM=<OAM как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых АО и ВО1 секущей АВ (параллельность АО и ВО1 тоже следует из того, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Значит они параллельны).
У равных треугольников ВМО1 и АМО равны соответственные стороны АО и ВО1.
Т.к. ВО1=СО2, а АО=ВО1, то АО=ВО1=СО2.
