Радиусы окружности РАВНЫ (то есть у окружности ОДИН радиус). Половины радиусов одной окружности также равны. Значит середины всех радиусов описывают ОКРУЖНОСТЬ (радиуса r= R/2).
ΔАВС , АС=8 см , ВС=6 см , АМ=ВМ , МД⊥АВ . Найти: Р(ΔВДС) .
Рассмотрим ΔАВД. Так как АМ=МВ, то МД - медиана.
Так как по условию МД⊥АВ, то МД - высота.
Если в треугольнике медиана является одновременно и высотой, то треугольник равнобедренный ⇒ΔАВД - равнобедренный, АД=ВД.
Рассм. ΔВДС. Периметр его равен
Р=ВД+ДС+ВС=(АД+ДС)+ВС=АС+ВС=8+6=14 см.
Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок).
Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
Ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
