Question

Теорема косинусов доказать

Answer 1

1) Для остроугольного треугольника.
Пусть AB = b, BC = a, AC = c.
Проведем высоту AD к стороне BC.
AD = b*sinB, BD = b*cosB,
CD = a - b*cosB.
По теореме Пифагора:
AC^2 = AD^2 + CD^2 = (bsinB)^2 + (a - bcosB)^2 = b^2sin^2 B + a^2 - 2abcosB + b^2cos^2 B = b^2*(sin^2 B + cos^2 B) + a^2 - 2abcosB = a^2 + b^2 - 2abcosB, ч.т.д.

2) Для тупоугольного треугольника:
Пусть AC = a, AB = b, BC = c, угол BAC = a.
Проведем высоту BD к стороне AC, BD = h.
BD = b*sinBAD = b*sin(180° - a) = b*sina
AD = b*cosBAD = b*cos(180° - a) = -b*cosa
CD = a - b*cosa
По теореме Пифагора:
CD^2 + BD^2 = BC^2
BC^2 = b^2*sin^2(a) + (a - b*cosa)^2 = b^2*sin^2(a) + a^2 - 2ab*cosa + b^2*cos^2(a) = b^2*(sin^2(a) + cos^2(a)) + a^2 - 2ab*cosa = a^2 + b^2 - 2ab*cosa, ч.т.д.