Дано уравнение кривой :
![y^{2}-16x-6y+25=0](https://tex.z-dn.net/?f=+y%5E%7B2%7D-16x-6y%2B25%3D0+)
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:точки ↓<span>
</span>
B=![\left[\begin{array}{ccc} 0&0\\0&1\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+0%260%5C%5C0%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
<span>Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(0 - z)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (1 - z)y1 = 0
Характеристическое уравнение</span>:
Характеристическое уравнение:
0 - λ ;0 =
![z^{2}-z=0](https://tex.z-dn.net/?f=+z%5E%7B2%7D-z%3D0)
<span><span><span>
0 ;</span>1 - λ</span>= </span>
![z^{2}-z=0](https://tex.z-dn.net/?f=+z%5E%7B2%7D-z%3D0)
![z^{2}-z=0](https://tex.z-dn.net/?f=+z%5E%7B2%7D-z%3D0)
D = (-1)2<span> - 4 • 1 • 0 = 1</span>
x1=1
x2=0
Исходное уравнение определяет параболу (λ2<span> = 0)</span>
Вид квадратичной формы:
y2
Выделяем полные квадраты:
для y1:
(y12-2•3y1<span> + 3</span>2) -1•32<span> = (y</span>1-3)2-9
Преобразуем исходное уравнение:
(y1-3)2<span> = 16x -16</span>
Получили уравнение параболы:
(y - y0)2<span> = 2p(x - x</span>0)
![(y-3)^2=2*8(x-1)](https://tex.z-dn.net/?f=%28y-3%29%5E2%3D2%2A8%28x-1%29)
Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (1;3)
Параметр p = 8
Координаты фокуса:
F=
![F( \frac{-P}{2};y0)=F=(\frac{-8}{2};3)](https://tex.z-dn.net/?f=F%28+%5Cfrac%7B-P%7D%7B2%7D%3By0%29%3DF%3D%28%5Cfrac%7B-8%7D%7B2%7D%3B3%29+)
Уравнение директрисы: x = x0<span> - p/2</span>
x = 1 - 4 = -3