Question

Найти собственные векторы и собств. значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицой А. |2 -1 2|А= |5 -3 3| |Найти собственные векторы и собств. значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицой А.

|2 -1 2|
А= |5 -3 3|
|-1 0 -2|

Необходима помощь. Заранее огромное спасибо.

Answer 1

Находим характеристический многочлен матрицы $A-\lambda I$:
$(2-\lambda)(3+\lambda)(2-\lambda)+(-5(2+\lambda)+3)+2(0-(3+\lambda))= \\ =(4-\lambda^2)(3+\lambda)-13-7\lambda=\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1=(\lambda+1)^3 \\ c(\lambda)=(\lambda+1)^3$
Собственные значения:
$det(A-\lambda |)=0 \Rightarrow \ (\lambda+1)^3=0 \Rightarrow \ \lambda_{1,2,3}=-1$
Собственные векторы:
$\left(\left.\begin{array}[t]{ccc} 3 & -1 & 2\\ 5 & -2 & 3\\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right|\begin{array}[t]{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\left.\begin{array}[t]{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right|\begin{array}[t]{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$
$V_{-1}= Span\left\{ \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\right\}$
Собственный вектор указан как базис собственного подпространства $V_{-1}$