Треугольники АВС и КВМ подобны, так как <B у них общий, а стороны, образующие этот угол пропорциональны: ВМ/ВС=ВК/АВ=1/3.Тогда отрезок МК=24*(1/3)=8.
По теореме косинусов в треугольнике АВС:
CosA=(AB²+AC²-BC²)/(2*АВ*AC) = (12²+24²-18²)/(2*12*24).
CosA=(720-324)/576=0,6875.
По теореме косинусов в треугольнике АМС:
МС²=АМ²+АС²-2*АМ*АС*CosA = 36+576-2*12*0,6875=414.
По теореме косинусов в треугольнике КМС:
CosK = (MK²+KC²-MC²)/(2*MK*KC) = (64+196-414)/224=-0,6875.
Мы видим, что косинусы углов А и К в четырехугольнике АМКС отличаются только знаком. Следовательно, они в сумме равны 180°, а это значит, что около четырехугольника АМКС можно описать окружность и притом ТОЛЬКО ОДНУ.
Что и требовалось доказать.
Значит, чтобы найти радиус этой окружности, достаточно найти радиус описанной окружности любого из треугольников АМС или КМС.
Найдем радиус описанной окружности треугольника АМС по теореме
синусов :
МС/SinA = 2R.
SinA=√(1-Cos²A) = √(1-0,6875²) ≈ 0,726.
R=MC/2*SinA = √414/(2*0,726) ≈ 14 ед.
Ответ: R=14 ед.
Ответ 4м.
Углы A,B,M в треугольнике ABM равны 60 град, т.к. треуг. равносторонний. Р/м трег. ADE, найдем tg угла A=DE/AD, tg60=корень из 3, выражая отсюда сторону AD получаем что она равна 4/корень из 3.
Р/м треуг ADM? также найдем здесь tg угла ADM=DM/AD, отсюда выражаем DM=tgузлаA*AD=(4/кореньиз3)*корень из3=4м
Хорда, стягивающая дугу в 60 градусов, равна радиусу основания.
Так как сечение - равнобедренный треугольник, то при угле в 45 градусов высота сечения равна 10/(sin 45°) = 10/(1/√2) = 10√2 см.
Хорда равна радиусу и равна 10/(√3/2) = 20/√3 = 20√3/3.
Отсюда получаем искомую площадь:
S = (1/2)*(20√3/3)*(10√2) = (100√6/3) см².