Question

Сколько существует натуральных чисел, оканчивающихся на 2015, и уменьшающихся в целое число раз при вычеркивании этих цифр?

Answer 1

Для каждого натурального N существует единственная степень двойки 2k, для которой  N ≤ 2k < 2N.  Подставляя в это утверждение вместо N числа 10n–1, 2·10n–1 и 5·10n–1, получаем, что для любого n: 
    существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 1; 
    существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 2 или 3; 
    существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с одной из цифр 5, 6, 7, 8 или 9. 
  Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с двойки или тройки, ровно 100 – с цифры, большей четверки, (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остается 33 числа начинающихся с четверки.