Question

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 3, а сумма оснований 20. найдите основания.

Answer 1

Пусть вписанная окружность, касается боковой стороны в точке Р, а оснований - в точках К (верхнего) и Н (нижнего).
Тогда АН=АР, ВК=ВР как касательные к окружности из одной точки.
ВК=ВС/2, АН=AD/2, так как трапеция равнобедренная.
<AOB=90°, так как <OAB+<OBA=90° (<DAB+<CBA=180° - углы трапеции у боковой стороны)
Тогда  ОР²=АР*ВР (свойство высоты из прямого угла) или
ОР²=ВС*AD/4. Или ВС*AD=36.
Но ВС+AD=20, значит AD=20-ВС.
(20-ВС)*ВС=36.
ВС²-20ВС+36=0.
ВС=10+(-)√(100-36)=10+(-)8.
ВС1=18 (не удовлетворяет, так как ВС - меньшее основание)
ВС2=2. AD=18.
Ответ: основания трапеции равны 18 и 2.