Question

Sin^4+cos^4+sin2x=a. В ответ записать наибольшее значение а, при котором уравнение имеет корни.

Answer 1

$\sin^4x+\cos^4x+\sin2x=a\\ (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin2x=a\\ 1- \frac{\sin^22x}{2} +\sin2x=a|\cdot2\\ 2-\sin^22x+2\sin2x=2a\\ \sin^22x-2\sin2x+2a-2=0$
Сделаем замену:
 $\sin2x=t$ причем $|t| \leq 1$ получаем:
$t^2-2t+2a-2=0\\ D=b^2-4ac=4-4(2a-2)=12-8a\\ t= \frac{2\pm \sqrt{12-8a} }{2a} =1\pm \sqrt{3-2a}$

Определяем при каком параметра $a$ уравнение имеет решение.

$|t| \leq 1$ - значение Синуса.
$-1 \leq t \leq 1\\ -1 \leq 1+ \sqrt{3-2a} \leq 1|-1\\ -2 \leq \sqrt{3-2a} \leq 0$
Очевидно, что решением неравенства есть $a=1.5$

$-1 \leq 1- \sqrt{3-2a} \leq 1|-1\\-2 \leq - \sqrt{3-2a} \leq 0\\ 0 \leq 3-2a \leq 4 |-3\\ -3 \leq -2a \leq 1|:(-2)\\ -0.5 \leq a \leq 1.5$

При $a \in [-0.5;1.5]$ уравнение имеет корни.

$a=1.5$ - наибольшее значение параметра $a$



Ответ: $a=1,5.$

Answer 2

Sin⁴x+cos⁴x+sin2x=a.
Заметим,что (sin²x+cos²x)²=sin⁴x+cos⁴x+2sin²xcos²x=1,
sin⁴x+cos⁴x=1-0,5sin²2x.
      Тогда имеем: 1-0,5sin²2x+sin2x=a,1 -0,5sin²2x+sin2x-a=0
  0,5sin²2x-sin2x+a-1=0,
Нехай  sin2x=t,тогда получаем:0.5t²-t+a-1=0,
D=1²-4·0,5·(a-1)≥0,1-2a+2=3-2a≥0,-2a≥-3,a≤1,5
Ответ:1.5