Question

Точка E не лежит в плоскости треугольника ABC площадью 36 см². Точки M, N и P лежат соответственно на отрезках EA, EB, EC, причем EM:MA=EN:NB=EP:PC=1:2. Чему равна площадь треугольника MNP?

а)4

б)12

в)3

г)18

Answer 1

Рассмотрим ΔEAB и ΔEMN: ∠E - общий, EM : EA = EN : EB = 1 : 3 ⇒ ΔEAB ∼ ΔEMN по II признаку ⇒ ∠EMN = ∠EAB (соответственные) ⇒ MN║AB, MN : AB = 1 : 3. Аналогично рассуждая, NP║BC, MP║AC.

MN и AB, MP и AC - соответственно сонаправленные лучи ⇒ ∠BAC = ∠NMP. Аналогично рассуждая, ∠MPN = ∠ACB.

Рассмотрим ΔABC и ΔMNP: ∠BAC = ∠NMP, ∠MPN = ∠ACB ⇒ ΔABC ∼ ΔMNP по I признаку, k = MN : AB = 1 : 3 ⇒ Smnp : Sabc = k² = 1 : 9 ⇒ Smnp = Sabc : 9 = 36 : 9 = 4 см².

Ответ: а)