Question

Исследовать на сходимость ∑

Answer 1

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\; \frac{1}{ln(n+2)} \; ;\\\\Tak\; kak\; \; \; lnx\ \textless \ x\; (x\to \infty)\; ,\; to :\quad ln(n+2)\ \textless \ n+2\ \textless \ n\; \; \Rightarrow \\\\ \frac{1}{ln(n+2)} \ \textgreater \ \frac{1}{n+2}\ \textgreater \ \frac{1}{n}$

Применим признак сравнения, учитывая , что ряд  $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n}$  явл. расходящимся гармоническим рядом, и то что он явл. минорантным рядом, т.к.  $\frac{1}{n}<\frac{1}{ln(n+2)}$  .
Исходный ряд расходится.

$P.S.\; \; \lim\limits _{n \to \infty}\; \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{n}{ln(n+2)} = \lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{1}{1/(n+2)} = \lim\limits _{n \to \infty} \, (n+2)=\infty$