Question

Из точки к плоскоститреугольника со сторонами 13,14 и 15 проведён перпендикуляр,основание которого - вершина угла,противолежащегИз точки к плоскости<span />треугольника со сторонами 13,14 и 15 проведён перпендикуляр,основание которого - вершина угла,противолежащего стороне 14.Расстояние от данной точки до этой стороны равно 20.Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника.

Answer 1

Ответ:  16

Обозначим треугольник ABC: AB=13 см, BC=15см, AC=14см. 
KA - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. 
По условию задачи необходимо найти длину KA. 

В треугольнике ABC проведем перпендикуляр AH. 

Рассмотрим треугольник ABH. Он является прямоугольным (угол AHB равен 90 градусов). По теореме Пифагора 
(AB)^2 = (AH)^2 + (BH)^2 
169 = (AH)^2 + (BH)^2 
(BH)^2 = 169 - (AH)^2 (*) 

Рассмотрим AC. AC = 14 см. 
AC = AH + HC 
HC = AC - AH 
HC = 14 - AH 

Рассмотрим треугольник AHC. Он является прямоугольным (угол BHC равен 90 градусов). По теореме Пифагора 
(BC)^2 = (BH)^2 + (HC)^2 
225 = (BH)^2 + (14-AH)^2 
(BH)^2 = 225 - (14-AH)^2 (**) 

Из (*) и (**) 
169 - (AH)^2 = 225 - (14-AH)^2 
169 - (AH)^2 = 225 - 196 + 28AH - (AH)^2 
28AH = 140 
AH = 5 

(BH)^2 = 169 - (AH)^2 = 169 - 25 = 144 
BH = 12 

KH - наклонная 
BH - проекция наклонной KH на плоскость ABC 
BH и AC перпендикулярны (по построению) 
По теореме о трех перпендикулярах KH и AC перпендикулярны. 
Следовательно KH - расстояние от точки K до прямой AC и KH=20. 

Рассмотрим треугольник KBH. Он является перпендикулярным (угол KBH равен 90 градусов). По теореме Пифагора 
(KH)^2 = (BK)^2 + (BH)^2 
400 = (BK)^2 + 144 
(BK)^2 = 256 
BK = 16