На каких промежутках касательная к графику функции
![f(x)=log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dlog_%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%28x%5E2-4%29)
составляет с положительным направлением оси Ох острый угол.
Решение.
Область определения функции
![f(x)=log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dlog_%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%28x%5E2-4%29)
x² - 4 > 0 ⇔ x² > 4
x∈(-∞;-2)U(2;+∞)
Острый угол - угол, градусная мера которого менее 90 градусов.
Величина угла касательной определяется производной функции. Величина которой(производной) равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох.
tgα = y'(x)
Так как угол 0 < α < 90° то tgα > 0.
Следовательно, что бы найти промежутки на которых угол касательной с положительным направлением оси Ох острый необходимо найти значения х при которых выполняется неравенство
y'(x) > 0
Найдем производную функции
![f(x)'=(log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4))' = \frac{1}{ln( \frac{1}{2} )\cdot(x^2-4)}\cdot(x^2-4)'= \frac{2x}{ln( \frac{1}{2} )\cdot(x^2-4)}=](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%27%3D%28log_%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%28x%5E2-4%29%29%27+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%29%5Ccdot%28x%5E2-4%29%7D%5Ccdot%28x%5E2-4%29%27%3D++%5Cfrac%7B2x%7D%7Bln%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%29%5Ccdot%28x%5E2-4%29%7D%3D)
![\frac{2x}{ln(2)\cdot(4-x^2)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2x%7D%7Bln%282%29%5Ccdot%284-x%5E2%29%7D)
Подставим производную в наше неравенство
![\frac{2x}{ln( 2 )\cdot(2-x)(2+x)}\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2x%7D%7Bln%28+2+%29%5Ccdot%282-x%29%282%2Bx%29%7D%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
Решим неравенство по методу интервалов
Найдем значения х в которых множители меняют свой знак
x₁=0; x₂ = -2; x₃ =2
На числовой прямой отобразим эти точки и знаки левой части неравенства полученные по методу подстановки.
Например: при х = 1 2х/(ln(2)·(2-x)·(2+x)) = 2/(ln(2)·1·3) >0 и так далее.
+ - 0 + -
---------!-----------!---------!-----------
-2 0 2
На числовой прямой положительны промежутки (-∞;-2) и [0;2),
но второй интервал [0;2) не входит в область определения функции поэтому его мы рассматривать не будем.
Следовательно угол касательной с положительным направлением оси Ох острый на промежутке (-∞;-2)
Ответ: (-∞;-2)