Question

Что такое поля галуа? и как они относяться к програмированию! И как ихиспользовать!Пожалуйста расширенный ответ!

Answer 1

Кульминацией в теории групп и колец Галуа является понятиеконечного поля. Поле, конечное поле обозначает одну и ту же структуру. Однако не стоит забывать о существовании и бесконечных полей, но такие в криптографии не рассматриваются.Поле F <F, +, *, 0, 1> называют конечным, если F - множество его элементов - конечно.Обозначение <F, +, *, 0, 1> означает F - множество элементов, для которых справедливы операции + (аддитивная операциия) и * (мультипликативная операция), а также существует адитивныйединичный элемент по сложению (аддитивный нуль) - 0 иединичный элемент по умножению (мультипликативная единица) - 1.Обозначается конечное поле Fq, где q - количество элементов поля.Если р - простое число и q = р, то Z/(q) - кольцо классов вычетов по модулю р, т.е. конечное поле из р элементов:0 (mod p), 1 (mod p), 2 (mod p), ... , p-1 (mod p),Если a = b (modp), то a  b (modp)Пример 1. Пусть р = 5. Тогда полем является множество {0, 1, 2, 3, 4}. 
Тогда аддитивная операция представлена следующим образом:+01234001234112340223401334012440123мультипликативная операция представлена следующим образом:*123411234224233314244321Пример 2. Решить в поле F(11) уравнения: 1) 5+7 2) 3*4 3) 4*41) 5 + 7 (mod 11)  1 (mod 11); 
2) 3*4 (mod 11)  1 (mod 11);
3) 4*4 (mod 11)  5 (mod 11).Характеристика поляЕсли для любого натурального m в поле F(q)m*1 = 0,то наименьшее m - есть характеристика поля F(q). Иначе поле считается нулевой характеристики.Любое числовое поле - поле нулевой характеристики. Кольцо классов вычетов по модулю простого числа является полем характеристики р.ТЕОРЕМА. Если F - подполе поля H, то характеристика полей F и H равны.Пример 3. Поле из примера 2 - поле F(11) является полем характеристики 11.Пример 4. Поле F(11^3) является также полем характеристики 11, т.к. поле F(11) является подполем поля F(11^3).Поле F(11^3) является уже примером расширенного поля Галуа (см. расширения конечных полей Галуа).