Это слово встречается в обоих вариантах написания. Давайте порассуждаем о том, как правильно писать слово "небезнадежно" с отрицательной частицей "не": слитно или раздельно. Для этого необходимо определить часть речи слова. Слово "небезнадежно" может выступать в предложении наречием или кратким прилагательным.
Стандартно наречия (краткие прилагательные) пишутся с отрицательной частицей "не" слитно.
Пример предложения. Поговорив с адвокатом и обсудив с ним некоторые вопросы, подозреваемый понял, что его положение небезнадежно.
Раздельно пишутся с частицей "не" наречия и прилагательные краткие, если в предложении есть противопоставление по смыслу с союзом "а".
Пример предложения. Проведя реструктуризацию долга дебитор понял, что его положение не безнадежно, а вполне сносно.
Раздельно пишется, если частица "не" выступает в значении отрицания.
Раздельно пишутся с частицей "не" наречия либо краткие прилагательные, если слово употребляется вместе со словами: отнюдь не, далеко не, совсем не, вовсе не и подобными. Либо оно употребляется со словами-пояснениями с приставкой ни-, например, ничуть не, нисколько не, нимало не, ничего не.
Можно характеризовать раздельное написание в этих ситуациях тем, что при помощи приведенных выше слов отрицание еще более усиливается и подчеркивается.
Пример предложения. Его положение нисколько не безнадежно.