Слово нянчить звучит удивительно мягко:
[н'а н'ч'и т'].
Если имеется задание по фонетике - указать слово со всеми мягкими согласными, то глагол "нянчить" вполне для этого сгодится. А всё из-за того что мягкий согласный [ч'] смягчает предыдущий сонорный звук [н], что называется ассимиляцией по мягкости, или уподоблением звуков.
По этой причине так и хочется написать мягкий знак после буквы "н".
Как правильно пишется слово, нянчить или няньчить?
Фонетика и орфография - два разных раздела русского языка. В написании большинства слов мы не должны полагаться на их фонетическое звучание, поэтому вспомнив, что в сочетаниях согласных нч, чн, нщ, чк, рщ мягкий знак не нужен, точно так же поступим в написании рассматриваемого слова:
слово нянчить пишется без мягкого знака, несмотря на его звучание.
Аналогично пишутся слова:
кочка, кончается, барабанщик, цветочный, фонарщик и пр.