Осьмушка - восьмая часть. Раньше вместо слова "восемь" было слово "осмь", соответственно, 1/8 часть чего-то называлась "осьмушка". Сегодня наверное употребляется редко, однако примерно до середины 70-х годов употреблялось применительно к чаю. Когда-то чай отвешивался в фунтах (фунты есть разные, поэтому не будем уточнять, какой-именно фунт имеется в виду, главное, что фунт это около 400 г). С тех пор, как я себя помню, примерно с начала 50-х годов, чай (продавался расфасованным в пачки весом (массой) 50 г и 25 г. Вот эта 25-граммовая, пачка называлась "осьмушка". Кроме того, табак (махорка) раньше продавался в пачках, и почему-то мне кажется, что мелкие пачки тоже назывались "осьмушками", но не уверен, сам я уже не застал.
И ещё. Слово осьмушка применялось к 1/8 части тетрадного листа. Т.е. если лист теради разорвать пополам, затем каждую половину ещё пополам, и далее, каждую четверть ещё пополам, то получится "осьмушка" листа. Приходилось читать в художественной литературе, что что-то (например письмо или записку) писали на "осьмушке листа", или из "осьмушки листа" делали пакетик для фасовки мелких предметов, например семян растений, лаврового листа.