Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать историю слова "банальный". Пришло оно к нам из французского языка. Также, как и в русском, это прилагательное, где в языке оригинала корень ban и суффикс al. Обычно пишут, что ban - это "изгнание", именно эта версия отражена в словаре Фасмера. Всё так, но это устаревшее значение. В те времена, когда оно пришло в наш язык, семантика была уже другая. Дело в том, что ban - это публичное оглашение какого-нибудь распоряжения властей, то есть то, что знают все. Таким образом и появилось у слова "банальный" значение "обыденный, общеизвестный".
Проверочным можно, при желании, сделать слово "бан". Оно хоть и пришло к нам из английского, но у него тот же корень, а главное происхождение, что и у французского. Правда, именно у британского корня сохранилось исконное значение "запрет" (в современном рунете - это почти "изгнание"), что не вяжется у обывателя, незнакомого с этимологией, тем паче с другими языками, с современным значением слова "банальный" и они вряд ли сопоставят его со словом бан, которое и вовсе из интернет-сленга. Тем не менее, их родства это не отменяет и именно им можно проверить безударную корневую гласную.
Но это взгляд лингвиста. Филологи и русоведы, возможно, посмотрят на ситуацию иначе, хотя бы потому что в современном русском языке корнем у проверяемого слова в результате морфемного разбора будет банальн- и вряд ли кто-то будет смотреть в этимологию, где, по-хорошему, должно быть так: (этимологический) корень -бан-, французский суффикс - аль- и русский суффикс -н-, окончание - ый.
Что касается производных, то все они пишутся тоже через а. В частности, наречие "банально".