Область допустимых решений уравнения: sinx+cosx\ \textgreater \ 0; Возведем в квадрат обе части уравнения. При возведении в квадрат могут получиться побочные решения, так как область допустимых решений после возведения в квадрат обеих частей уравнения расширяется (sinx+cosx<0). sin^{2}x+2sinxcosx+ cos^{2}x=2;
sin^{2}x+ cos^{2} x=1; 2sinxcosx=sin2x; Тогда sin2x=1; 2x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n, n∈Z; Решение в общем виде: x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n, n∈Z; На промежутке [- \pi ; 2 \pi ]: x_{1}=- \frac{3}{4} \pi , x_{2}= \frac{ \pi }{4}, x_{3}= \frac{5}{4} \pi . Однако при x_{1}= -\frac{3}{4} \pi, x_{3}= \frac{5}{4} \pi , sinx+cosx\ \textless \ 0; Это решения уравнения, возведенного в квадрат, которые для исходного уравнения не подходят, т.к. область допустимых решений исходного уравнения sinx+cosx>0; Поэтому решение единственное x= \frac{ \pi }{4}.