Правильным будет написание «юго-запад»: с соединительной гласной О и через дефис (короткую чёрточку). При этом возможно написание строчными буквами: юго-запад, но может быть и вариант с прописными: Юго-Запад.
Попробуем рассмотреть все орфограммы, которые присутствуют в данном существительном.
Во-первых, кое-кто может ошибиться в написании буквы Д на конце слова (написать *«юго-запат»). Чтобы этого не произошло, можно проверить букву Д, изменив форму слова, например, «с юго-запада» или «на юго-западе». Теперь чётко слышится звук Д, соответственно, и буква будет Д, а не Т.
Во-вторых, соединительная гласная О. Здесь правило весьма простое: в русском языке для соединения основ сложных слов могут применяться только соединительные гласные О или Е. Соединительной гласной А не бывает. После твёрдых согласных, за исключением шипящих и Ц, мы пишем всегда соединительную гласную О, как и в нашем случае.
В-третьих, дефис. Есть особое правило русского языка, по которому всегда через дефис (чёрточку) пишутся все наименования промежуточных сторон света: и юго-запад, и северо-восток, и восток-юго-восток, и все прочие подобные им.
В-четвёртых, выбор между прописной или строчной буквой. Здесь всё зависит от значения слова. Если это промежуточная сторона света или направление, то напишем всё слово «юго-запад» строчными буквами, то есть маленькими: «ветер дул на юго-запад». Но если имеется в виду некий географический регион, то оба компонента слова нужно будет написать уже́ с прописной буквы: Юго-Запад (прописные, то есть большие Ю, З).