Давайте разбираться, какие части речи в этом словосочетании и в каком падеже употреблены.
Обе стороны - означает и та, и другая, то есть две стороны.
Обе - количественно-местои<wbr />менное слово.
Стороны - существительное «сторона» во множественном числе.
«Сторона» - женский род.
Вспоминаем правило, что с существительными женского рода употребляется «обе», а с существительными мужского рода - «оба».
Таким образом, просклоняем по падежам «обе стороны»:
И.п. - что? обе стороны
Р.п. - нет чего? обеих сторон
Д.п. - дать чему? обеим сторонам
В.п. - вижу что? обе стороны
Т.п. - горжусь чем? обеими сторонами
П.п. - думаю о чем? об обеих сторонах.
Ответ: правильно "по обеим сторонам"