Бабушка приближалась к домику очень медленно, чтобы СОСЛЕПУ не наткнуться на косяк двери.
Приближалась медленно ПОЧЕМУ? ПО КАКОЙ ПРИЧИНЕ? - СОСЛЕПУ.
Это обстоятельство причины, выраженное наречием.
А теперь разберемся, как оно пишется: ведь наречия могут иметь раздельное, слитное написание или через дефис.
Конкретно по отношению к приведенному в вопросе наречию следует определить, к какой группе наречий по способу образования относится это слово.
СО - предлог, СЛЕПУ - краткое прилагательное от полного СЛЕПОЙ => СЛЕП.
А почему оно имеет такое странное окончание, это краткое прилагательное?
А для объяснения этой странности просто достаточно вспомнить, что когда-то, в далекие времена, наши предки склоняли такие прилагательные. И наречие СОСЛЕПУ произошло как раз слиянием предлога с родительным падежом краткого прилагательного. Вот и получилось новое слово, состоящее из приставки, в которую перешел предлог, и застывшей формы краткого прилагательного в родительном падеже и принадлежащее другой части речи - наречию.
Таким же способом образованы другие наречия из этой группы, например: справа, досуха, издавна, сызнова.
И пишутся образованные таким способом наречия в полном соответствии с правилами правописания всегда СЛИТНО.