Начнем с того, что слово "фирма" в Советском обществе для советского государства просто не существовало. Фирма была совершенно западным словом. А у нас были кооперативы. Сейчас и слова такого почти никто не помнит. Хочу напомнить, что и во времена Остапа Бендера, на которого все ссылаются, такой фразы тоже не могло быть. Танцуйте от неприменяемого тогда в советской лексике слова "фирма". А вот к концу 80-х, когда была уже по всей стране перестройка, начало это слово завоевывать "рынок народных слов". Многие кооперативы переименовали себя в "фирмы".
В СССР были разрешены для частного бизнеса только и в основном народные промыслы. Т.е. можно было делать народные украшения и предметы быта. Веники относились к народным промыслам и их разрешали изготавливать в артелях и потом продавать за наличные на колхозных рынках.
В первые годы перестройки новоявленные Остапы часто пользовались уже готовыми артелями и кооперативами. Их легче было узаконить. Поэтому они в такие артели приходили с предложениями "расширить ассортимент". Например, начать "выпускать" всякую бижутерию, кожаные пояса, предметы быта. А на самом деле ассортимент увеличивался за счет сбыта в этих артелях сделанного на советском оборудовании, на государственных фабриках, без вложения своих средств из украденного(сэкономл<wbr />енного) материала и за счет государства, но тайком от него. Таких злоупотреблений было много.
Если говорили, что "фирма веников не вяжет", то это означало, что фирма зарегистрировалась как надо, в ней все прозрачно, левых ходов в ней нет.
Но прошла эпоха кооперативов и перестройки и люди просто все подзабыли.
Догадки в Интернете меня все время смешат.
С другой стороны и понять можно. Те немногие, что тогда были вовлечены в бизнес, либо поднялись, либо спились. Но в любом случае не участвуют в обсуждениях в Сетях. Вот у людей и гуляют домыслы. А вот в 1987-90гг это всем близким к бизнесу было понятной вещью.