Стрижёт или стригёт как правильно писать, определим, изменив глагол "стричь" по лицам и числам в соответствии с нормами русского литературного языка.
В первом лице единственного числа и третьем лице множественного числа настоящего времени глагол "стричь" имеет формы "я стригу", "они стригут", которые пишутся с буквой "г".
Видимо, по этой причине возникает сомнение в написании формы 3 лица единственного числа:
стригёт или стрижёт?
В корне этого глагола происходит историческое чередование согласных г//ж.
Понаблюдаем, как изменяется этот глагол в формах настоящего времени по лицам и числам (спрягается):
1 лицо я стригу - мы стрижем
2 лицо ты стрижёшь - вы стрижете
3 лицо он стрижет - они стригут.
Правильно следует писать слово "стрижет" с буквой "ж" в корне в соответствии с морфологической нормой русского литературного языка.
Примеры
Пастух Фомич стрижет овец.
Парикмахер Василий Петрович, говорят, хорошо стрижет клиентов.
Жук перевернулся на спинку и стрижет лапками.