Правильное написание существительного - шажок.
Произведём морфемный разбор (разбор по составу) слова "шажок":
шаж - корень
ок - суффикс
нулевое окончание
шажок - основа слова.
В суффиксах существительных после шипящих и "ц" пишется под ударением пишется гласная "о", без ударения - гласная "е".
В нашем слове ударение падает на суффикс - шажОк, поэтому смело пишем "о".
Слово "шажок" образовано от слова "шаг" суффиксальным способом. "Ж" чередуется с "г".
Суффиксв "-ок" и "-ек" относятся к уменьшительно-ласкательным.
Приведу примеры слов, в суффиксах которых после шипящих пишется буква "о":
снежОк, пирожОк, бычОк, старичОк, крючОк, флажОк, ремешОк, месяцОк, кружОк, снеговичОк, пастушок, штришОк, кругляшОк, творожОк.
А теперь слова с буквой "е":
кармАшек, кАмешек, треугОльничек, человЕчек, листОчек, платОчек, мешОчек, теремОчек, цветОчек, песОчек, комОчек, порОжек, кружОчек, шажОчек, спИсочек, ветерОчек, порошОчек, клубОчек, совОчек, сырОчек, крАешек, хлЕбушек, ворОбушек, барАшек, оврАжек, флажочек, крючОчек.