Самое печальное, что ответа на этот вопрос пока нет!
Он может появиться только лишь тогда, когда термин попадет в русские словари. А пока этого нет.
Поэтому встречаются самые разные варианты написания этого термина. И каждый автор выбирает тот, к которому больше лежит душа.
Если учитывать, что есть вполне русское определение явления - ручная работа, то в первую очередь стоит отдавать предпочтение ему. Если уж требуется все-таки написать в английском варианте, то самое правильное - это handmade. Причем английские словари приводят и дефисное написание - hand-made.
А в русской транскрипции пока можно писать и слитно, и через дефис. Правила-то нет!
В отношении "э" и "е" - такая же история. Для заимствованных слов нет жестких правил передачи звуков, примеры можно найти всякие. Есть общие рекомендации типа:
Но это не догма.
Посему пишите, как хотите! Я пока предпочитаю handmade. Слово всем понятно, вопросов не возникает.
Если свести в одно все правила написания таких заимствований, то, скорее всего, можно остановиться на варианте "хэндмейд". Грамота.ру предлагает "хендмейд".
Выбирайте!