Чтобы правильно написать данное нам слово ,нужно определить,к какой части речи оно относится.
Отвечает на вопрос (что сделав?)-"успев".
В русском языке на вопрос (что делая?,что сделав?),отвечают деепричастия.
Далее рассмотрим орфографическое правило русского языка-правописание частицы (НЕ) с деепричастиями.
По правилам русского языка деепричастия,как и глаголы с частицей (НЕ) пишутся раздельно.
Исключения составляют:
-деепричастия,которые без "не" не употребляются(например-негодуя);
-деепричастия с приставкой "недо",которая обозначает неполноту действия(например-недолюбливая).
Как мы видим рассматриваемое нами деепричастие не относится к исключениям.
Делаем вывод: в соответствии с правилами русского языка деепричастие "не успев" следует всегда писать раздельно с частицей (НЕ).