Правильное написание - разжалобить.
Это слово относится к правилу "Правописание "з" и "с" на конце приставок".
В приставках "раз-"("рас-"), "воз-"("вос-"), "вз-"("вс-"), "чрез-"/"через-"("чрес-"/"черес-"), "без-"("бес-"), "из-"("ис-"), "низ-"("нис-") перед звонкими согласными корня пишется согласная "з", перед глухими пишется "с".
Разжалобить, разбрасывать - рассмотреть, раскрасить.
Воздвигнуть, возблагодарить - восстание, восходить.
Взрастить, взбежать - вскипеть, вскакивать.
Чрезмерно, чрезвычайно, черезрядный, черезбороздый - чрескожный, чрескостный, чересчур, чересполосица.
Бездельничать, безмолвный - бесстрашие, бесцельный.
Издавать, изгонять - испачкаться, исцелять.
Низвлекать, низлагать - нисходить, ниспослать.