Правильно писать слово "вертится" как форму третьего лица единственного числа и "вертеться" как неопределённую форму глагола.
Глагол "вертеться" является одним из нескольких глаголов-исключений и относится ко второму спряжению, не смотря на то, что в неопределённой форме у него окончание "еть". Поэтому он спрягается на "-ит" - вертит(ся).
Пример из песни: "Крутится вертится шар голубой, крутится вертится над мостовой..."
В слове "вертится" морфемы таковы: "верт" - корень, "-ит" - суффикс, "-ся" - возвратная частица.
В слове "вертеться" морфемы таковы: "верт" - корень, "-еть" - суффикс, "-ся" - возвратная частица.
Правило спряжения: глаголы второго спряжения в окончаниях по лицам (кроме первого лица единственного числа) имеют буквы "-и" и "-я": вертишься, вертится, вертимся, вертитесь, вертятся.
Как определить, что глагол относится ко второму спряжению? По окончанию в неопределённой форме, это должно быть "-ить", плюс глаголы исключения: гнать, держать, смотреть и видеть; дышать, слышать, ненавидеть, и зависеть и терпеть, и обидеть и вертеть.
Возвратная частица "-ся" ничего не меняет.
Что касается суффиксов или окончаний в глаголах ("-ит" и "-еть" и других) то различные лингвистические школы называют их по разному: кто-то считает это окончаниями, а кто-то суффиксами, и даже "-и-" и "-т" или "-е-" и "-ть" отдельными суффиксами. Как вас в школе учили или учат, так и называйте.
Некоторые возвратную частицу "-ся" называют суффиксом. Меня в школе учили, что это не суффикс, а возвратная частица.