Правильное написание - непринуждённо.
"Не" с наречиями пишется слитно:
1) если наречие без "не" не употребляется. Например, небрежно, неуклюже, негодующе, недоумевающе.
2) если можно заменить синонимом без "не". Например, недалеко (близко), негромко (тихо), непринуждённо (естественно, просто).
3) отрицательные наречия. Например, некуда, некогда, неоткуда.
"Не" с наречиями пишется раздельно:
1) если есть противопоставление с союзом "а". Например, не глубоко, а мелко; не быстро, а медленно; не темно, а светло.
2) если есть слова: ничуть не, вовсе не, отнюдь не, никогда не, совсем не, нисколько не. Например, ничуть не интересно, вовсе не жарко, совсем не больно.
3) если наречия пишутся через дефис. Например, не по-дружески, не по-товарищески.