КОЕ- относится к группе неопределенных частиц (-то, -либо, -нибудь), при помощи которых образуются
неопределенные местоимения и наречия.
Но это единственная частица в упомянутой группе, которая всегда стоит перед местоимением или наречием,
например: кое-кто, кое-какой, кое-куда, кое-где.
Есть наречие зачем (вопросительное и относительное), которое имеет значение с какой целью, для чего?
и пишется всегда в одно слово (Зачем приходил Петя? Так вот он зачем приходил!).
Более того, из него никак не образовать неопределенного наречия с частицей кое-. Нет такого в русском языке!
А вот неопределенное местоимение кое-что очень даже употребительно в нашей речи (в разговорной речи кой-что).
Интересное неопределенное местоимение: оно указывает на известный в какой-то степени говорящему факт, событие,
но неизвестный слушающему.
И употребляется это местоимение в разных падежных формах, то есть может употребляться как без предлогов,
так и с предлогами, например: Учитель кое-чем недоволен.
Пришлось прервать урок, чтобы послать ученика кое за чем в учительскую.
В первом предложении частица отделяется от местоимения дефисом, а во втором частицу и местоимение разделяет предлог, поэтому сочетание пишется в три отдельных слова, без дефисов.
Таково правило, ему следует подчиняться, его следует запомнить и строго его выполнять.