Не старая и нестарая пишется раздельно и слитно в зависимости от грамматических условий в контексте.
Разберемся, в каких случаях слово "не старая" пишется раздельно, а когда "нестарая" пишется слитно.
Если в предложении имеется противопоставление и слова, усиливающие отрицание (вовсе, далеко, отнюдь, отрицательные местоимения и наречия с начальным ни-), то слово "не старая" пишется раздельно с отрицательной частицей "не".
Примеры
Не старая, а новая монетка блестела на солнце как золотая.
Далеко не старая женщина выглянула из-за двери.
Вовсе не старая книга стоит на полке.
Отнюдь не старая марка не представляет особой ценности для филателистов.
Нисколько не старая новость взбудоражила всех жильцов дома.
В остальных случаях прилагательное "нестарая", которое можно заменить синонимом "новая", "молодая" и пр. пишется слитно.
Нестарая женщина встретила нас на пороге.