1) Разберёмся для начала с "максимальным ускорением". Как разгоняется спортсмен? Он опирается на поверхность ногой и толкает себя вперёд с некоторой силой F. Посмотрим, какие силы действуют на опорную ногу в точке соприкосновения с поверхностью.
Человек толкает себя вперёд с силой F, тогда по третьему закону Ньютона на ногу действует сила F в противоположном направлении, т.е. назад. Также существует сила трения Fтр, направленная вперёд. Записываем второй закон Ньютона:
![ma=F-F+F_{TP}=F_{TP}](https://tex.z-dn.net/?f=ma%3DF-F%2BF_%7BTP%7D%3DF_%7BTP%7D)
Максимальная сила трения равна
![F_{TP}^{max}=\mu mg](https://tex.z-dn.net/?f=F_%7BTP%7D%5E%7Bmax%7D%3D%5Cmu+mg)
, поэтому максимальное ускорение, которое можно получить, есть
![a=\mu g](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Cmu+g)
2) Теперь поговорим о том, что же происходит в задаче. Спортсмен разгоняется с ускорением a (в течение времени τ), в момент отрыва от земли добавляется вертикальная составляющая скорости (горизонтальная остается той же), спортсмен летит по параболе и, наконец, приземляется.
Горизонтальная компонента скорости не меняется и остается равной Vx = μgτ, тогда длина прыжка будет равна Vx * T, где T - время прыжка. Остается найти T.
3) Итак, задача превратилась в стандартную: с некоторой скоростью подбросили вверх нечто (нечто = спортсмен в данном случае), это нечто достигло высоты h и упало обратно. Необходимо найти время полёта T.
Задача решается, например, так: понятно, что искомое время - удвоенное время падения t с высоты h (время подлёта к верхней точки такое же, что и время спуска, а время спуска найти проще). t найдем из равенства
![h=\dfrac{gt^2}2\\ t=\sqrt{\dfrac{2h}g}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Cdfrac%7Bgt%5E2%7D2%5C%5C%0At%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2h%7Dg%7D)
Отсюда
![T=2t=2\sqrt{\dfrac{2h}g}](https://tex.z-dn.net/?f=T%3D2t%3D2%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2h%7Dg%7D)
4) Остается получить ответ.
![L = V_x\cdot T=\mu g\tau\cdot 2\sqrt{\dfrac{2h}g}=2\mu\tau\sqrt{2gh}](https://tex.z-dn.net/?f=L+%3D+V_x%5Ccdot+T%3D%5Cmu+g%5Ctau%5Ccdot+2%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2h%7Dg%7D%3D2%5Cmu%5Ctau%5Csqrt%7B2gh%7D)