Очень интересный вопрос не только для дилетантов, но и лингвистов. На эту тему много споров, начиная с начала 20 века, когда в 1928 году выдающийся русский филолог Лев Владимирович Щерба в своей статье "О частях речи в русском языке" впервые выделил группу слов, включающую " нельзя, можно, надо, жаль, пора" и другие. Он отмечал, что включение этих слов "под какую-либо категорию затруднительно". В итоге Щерба объединил эти слова в одну группу с другими словами, выражающими состояние, и так и назвал эту группу слов: "Категория состояния". С тех пор идут споры среди лингвистов о классификации этих слов.
По большей части эти слова относят прежде всего к предикативам. Есть такое определение:
Отсюда происходит мнение, что эти слова не являются частью речи. Но и служебными словами они тоже не являются. Поэтому «нельзя» и подобные слова все же нужно классифицировать среди частей речи.
Я склонна разделять точку зрения, что предикатив – это не отдельная часть речи, а зонтик, под которым скрываются разные части речи. Тогда получается, все же надо отнести «нельзя» в отдельную группу «Категория состояния» в одном ряду с предикативными наречиями, страдательными причастиями и существительными (зачастую бывшими, или частично перешедшими в категорию состояния). В этой группе «Категория состояния» нужно выделить подгруппу модальных слов, выражающих состояние, оканчивающихся не на -о, наряду со словами на –о и бывшими существительными. Схематично я предствила это так:
Это лично моя схема, и она выражает только мнение автора.