Очевидно, что вопрос относится к наречию, поскольку употребленное в значении падежной формы существительного с предлогом такое сочетание всегда пишется раздельно (предлоги со всеми частями речи пишутся раздельно).
Сочетания существительных с предлогами, имеющие наречное значение, могут писаться и слитно, и раздельно.
Например, наутро, набок, наудачу и на бегу, на совесть, на редкость.
И здесь необходимо руководствоваться правилами правописания наречий и наречных выражений.
Относительно заданного наречного выражения действует правило, в соответствии с которым сочетания существительных с предлогами пишутся раздельно, если:
а) существительное в определенном значении сохраняет некоторые падежные формы;
б) существительное употреблено в переносном значении.
И то, и другое условие для этого наречия выполняются: в память о героях битвы (в честь), без памяти любить (безумно, бессознательно), рассказать по памяти (наизусть, не заглядывая в книгу).
А в конкретном случае и предложно-падежное сочетание, и наречное выражение НА ПАМЯТЬ, представляющее собой сочетание существительного и предлога, всегда пишется раздельно.