Слово "четырехэтажный" пишется слитно или раздельно, можно понять, если определить, что это прилагательное образовано сложением двух слов с помощью суффикса -н-:
четыре этажа + н = четырехэтажный.
Сложные существительные и прилагательные, имеющие в своем составе числительное в форме родительного падежа, как правило, пишутся слитно, та как между составляющими элементами слова прослеживается подчинительная связь.
Например:
пять томов - пятитомник;
два борта - двубортный пиджак;
три ступеньки - трехступенчатый.
Слово "этаж" главное, а количество этажей может быть разным ((одноэтажный, двухэтажный и пр.), то есть числительное является зависимым словом. Можно также применить такой способ проверки:
вставляется ли союз "и" между компонентами словами?
Нет, слово "четырехэтажный является спаянным в одну лексическую единицу.
Сравним:
зерно-бобовые культуры - это зерновые и бобовые культуры.
Здесь существует сочинительная (равноправная) синтаксическая связь, и слово тогда пишется с дефисом.
Слово "четырехэтажный" правильно пишется слитно, причем без твердого знака.
Сравним:
четырехъядерный
четырехъязычный.