Поумничать пишется слитно или раздельно, выясним, определив часть речи, к которой принадлежит это слово, и морфемный состав.
Ей хочется иной раз поумничать.
Ей хочется что сделать? поумничать.
Это слово обозначает действие и отвечает на соответствующий вопрос. Значит, это глагол.
А теперь выясним, каким элементом является "по", предлогом или приставкой, в сочетании со словом "умничать". От этого зависит, как пишется слово "поумничать", слитно или раздельно.
Раз это слово является глаголом, то оно не изменяется по падежам и не может выражать отношение к другим словам с помощью предлога.
В русском языке предлог как служебная часть речи выражает отношение друг к другу изменяемых слов, принадлежащих только к именным частям речи.
Понаблюдаем:
идти по дороге (существительное);
стать по трое человек (числительное с существительным);
скучать по вам (местоимение).
Следовательно, в составе глагола "поумничать" по- является приставкой:
по-ум-нич-а-ть - приставка/корень/суф<wbr />фикс/суффикс/окончани<wbr />е.
С её помощью от однокоренного слова образован этот глагол:
умник - умничать - поумничать.
Аналогично приставочным способом образуются слова одной и той же части речи:
есть - поесть;
красить - покрасить;
ставить - поставить.
Слово "поумничать" правильно пишется слитно с приставкой по-.