С вечера не истопили печь, а под утро в избе заметно похолодало.
Когда похолодало? -- Под утро.
Сочетание имени существительного "утро" с предлогом "под" употреблено в этом предложении-примере в наречном значении. Это легко определяется по самому контексту и обстоятельственному вопросу.
Наречное сочетание имеет здесь значение обстоятельства времени.
Пишется раздельно это сочетание. Во-первых, между предлогом и существительным легко вставляется дополнительно определение, например, можно сказать "под раннее утро".
Во-вторых, есть в русском языке орфографические правила правописания наречий и наречных сочетаний, в том числе и о раздельном написании наречных сочетаний с определенными предлогами, в число которых входит также и предлог "под".
Например, раздельно пишутся наречные сочетания под вечер, под гору, под занавес, под силу, под конец, под мышки.
Вот и заданное наречное сочетание "под утро" пишется только раздельно, в два слова.
Любое другое написание будет ошибочным и совершенно безграмотным.