Как пишется неприятности, слитно или раздельно, определю, выяснив сначала часть речи, к которой принадлежит интересующее нас слово.
Неприятности быстро миновали, и все вздохнули с облегчением.
Это слово обладает предметным знаечним и отвечает на вопрос: что?
Значит, это существительное.
С помощью приставки не- образовано новое слово-антоним:
приятность - неприятность.
Его вполне можно заменить синонимом "напасть", "передряга".
В большинстве случаев слово "неприятности" употребляется именно в таком значении и пишется слитно с приставкой не-.
Теоретически по орфографическому правилу русского языка возможно и раздельное написание слова "не приятности" при наличии в контексте соответствующих условий:
1) противопоставления
С тобой часто случаются не приятности, а сплошные неудачи.
2) слова "далеко", "вовсе", "отнюдь"
Далеко не приятности случались постоянно.
3) В присутствии слов с ни-
Нисколько это не приятности.