Правильно – пожёстче.
Давайте разберёмся, почему именно этот вариант написания верный.
Первая орфограмма, вызвавшая сомнения, – буква Ё после Ж – связана с написание корня ЖЕСТК-. Правило гласит, что когда в корнях слов ПОСЛЕ ШИПЯЩИХ под ударением слышим [О], то пишем Ё, если можно подобрать проверочное слово с ударной или безударной гласной Е (причёска – чешет, жёлтый – желтизна), и пишем О, если такого проверочного слова подобрать нельзя (шорох, шомпол, прожорливый и т.п.).
Применив это правило к данному слову, подбираем проверочные слова: жестка́, жесткова́тый.
Необходимость применения данного правила, конечно же, вызвана звучанием слова, в частности, его корня – сомнение в написании СТЧ или Щ тоже вызвано произношением. Транскрипция данной словарной единицы (привожу школьный вариант) такова: [пажощ’и]. Чтобы доказать, что писать следует СТЧ, надо вспомнить ещё одно орфографическое правило, а также обратиться к формообразованию, так как в данном случае мы имеем дело с простой сравнительной степенью прилагательного «жёсткий» или наречия «жёстко».
Правило связано с написанием непроизносимых согласных в корнях слов и гласит, что для проверки наличия или отсутствия непроизносимого согласного мы должны так изменить форму слова или подобрать такое однокоренное проверочное слово, чтобы этот согласный, если он есть, слышался отчётливо (поздний – опоздать, местный – место).
Слово «пожёстче» можно проверить краткой формой прилагательного «жёсткий» в мужском роде – «жёсток».
Кстати, и этимология прилагательного «жёсткий» убеждает в том, что буква Т в нём необходима: оно было образовано с помощью суффикса от древнего глагола «жестѣти» (сейчас бы мы сказали «жестеть»), то есть «твердеть». Глагол ушёл из активного запаса, в прилагательном произошло упрощение основы, поэтому в современном русском языке мы уже не выделяем в нём суффикса и говорим об основе ЖЁСТК-, равной корню.
И хотя применения этого правила вполне достаточно для правописания слова, окончательно убедиться правильности написания помогает рассмотрение вопроса о его формообразовании: простая сравнительная степень в данном случае образована путём прибавления к основе прилагательного «жёсткий» приставки ПО- и суффикса -Е, или к основе наречия «жёстко» без суффикса -О приставки ПО- и суффикса -Е. При этом в обоих случаях в корне происходит историческое чередование К//Ч.