Как правильно пишется дремлет или дремлит, с буквой "е" или "и", разберемся, определив часть речи и грамматическую форму слова.
Дремлет у печки черный кот, свернувшись в клубок.
Кот (что делает?) дремлет
Это слово обозначает состояние, поэтому отнесет его к глаголам.
Если поставить ударение, то окажется, что голосом выделяется гласный корня:
дремл-ет - корень/окончание.
По этой причине неясно слшится гласный окончания, из-за чего и возникает сомнение в написании буквы "е" или "и".
Чтобы правильно написать безударное окончание глагола, определим его спряжение.
А для этого обратимся к начальной форме "дремать". Неопределенная форма глагола имеет конечное буквосочетание -а-ть и не входит в список глаголов-исключений:
гнать, держать, слышать, дышать.
Значит, это глагол первого спряжения.
Изменим его по лицам и числам в формах настоящего времени:
1 лицо я дремлю - мы дремлем
2 лицо ты дремлешь - вы дремлете
3 лицо он дремлет - они дремлют.
Как видим, в большинстве личных окончаний глагола пишется буква "е".
Слово "дремлет" правильно пишется с буквой "е" в безударном окончании как форма глагола "дремать" первого спряжения.
Примеры
Дремлет старик в кресле.
Дремлет зимний лес под снежным покровом.
Дремлет чуткий камыш у озера.