Для того, чтобы правильно написать "не" с "досуг", удобно будет к слитному и к раздельному вариантам подобрать пары, которые и помогут нам разобраться в этой орфографической проблеме.
Не досуг.
Мы прекрасно знаем слово "досуг". Это существительное, которое по значению близко к слову отдых. Противоположность отдыху - "работа".
Если в предложении со словом "недосуг" имеются противопоставления "недосуга" с "работой" (или с каким-то другим словом, противопоставляющимся досугу), то мы должны применить раздельное написание.
Точно так же мы поступим, если в предложении перед "не" увидим так называемые усилители "не". Эти слова-усилители обязательно нагружены более или менее ярким интонационным ударением, как бы подчёркивая сами своё значение: "вовсе не досуг", "ни капельки не досуг", "совсем не досуг" и так далее.
Например:
- "Не досуг вы мне предлагаете, как я посмотрю, а работу, тяжёлый труд".
- "Составлять пособия - отнюдь не досуг".
Недосуг.
Это слово формально называют предикативом. Но поскольку понять, что это такое, бывает сложновато, мы условно отнесём его к наречным словам и зададим к нему условные вопросы "как?" или "каково?": "мне было недосуг", "Маше недосуг".
Слово превращается в неизменяемое. Поэтому мы шёпотом и назвали его наречием. Противопоставить его в предложении существительному "работа" будет сложно. Нельзя сказать: "Мне недосуг, а работа". Получается речевая ошибка. Лучше противопоставить так: "Мне недосуг, а Витя отдыхает".
Видите, что получилось? "(не) Досуг" противопоставляется работе, а "недосуг" - отдыху.
Но несмотря на возможные противопоставления или усиления, существительное-предикатив "недосуг" пишется слитно.
Например:
- "Ивану давно уже недосуг наблюдать за облаками в чистом небе".