Прилагательное "богат" представляет собой краткую форму прилагательного "богатый", а пишется с "не" слово "богат" и слитно, и раздельно.
Прилагательное "небогат" пишется слитно при наличии в предложении слов "очень", "весьма", "чрезвычайно", "совсем", "крайне"; а эти слова усиливают степень качества. При этом прилагательное в краткой форме можно заменить синонимом, в котором отсутствует "не". Например, наше прилагательное можно заменить синонимом "беден". В этих случаях пишется слово слитно: "небогат".
Примеры:
Алексей был небогат, хотя некоторые накопления у него имелись.
Он был совсем небогат и ничуть этого не стыдился.
Прилагательное "богат" может быть написано раздельно с частицей "не", но это возможно только в предложениях, содержащих противопоставление с союзом "а". Если имеются слова "нисколько", "далеко", "вовсе", "отнюдь", то тоже возможно раздельное написание: "не богат".
Примеры:
Провинциальный городок был не богат, а беден, хотя и гостеприимен.
Василий был нисколько не богат, но он всегда был весел и азартен.