Чтобы выбрать вариант слитного или раздельного написания слова без ведома или "безведома", определю сначала, к какой части речи оно принадлежит.
Без ведома бабушки не бери ключи от сундука.
Слово "без ведома" является наречием, которое образовано от существительного с предлогом. Оно ещё "помнит" падежную форму производящего слова. Между предлогом и словом можно вставить вопрос или определение, например:
без чего? без ведома;
без моего ведома, без бабушкиного ведома.
Эти приемы проверки говорят в пользу раздельного написания наречия "без ведома", как и аналогичных слов с предлогом "без":
без спросу, без оглядки, без устали, без просвета, без разбору.