Сначала разберемся с происхождением заданного слова, которое пишется только так: прибаутка.
Это коренное русское слово, образованное при помощи приставки при- от не существующего в современном русском языке слова баутка, а это слово произошло от глагола баяти (говорить).
Таков исторический взгляд, при котором в слове выделяется приставка при-.
Но сейчас-то в слове прибаутка приставка срослась с корнем, так что ее значение конкретное, отдельное определить просто невозможно. И примеров таких слов, которые когда давным-давно были образованы с помощью приставки при-, сросшейся впоследствии с корнем, достаточно много осталось в нашем языке. Например, "притязание, приурочить, присягать, неприхотливый, примерный" и т.п..
А это значит, что объяснить, почему пишется прибаутка так, а не как-то иначе, можно, только прибегнув к этимологическому словарю. Поэтому рекомендуется не заморачиваться, а обращаться к словарям орфографическим, посмотреть и постараться запомнить написание, тем более, что слово на слуху у нас с детства самого.