Наперерыв и на перерыв - оба написания слов существуют в русской орфографии. Чтобы выбрать слитное или раздельное написание, опираюсь на определенный контекст и выясню, к какой части речи принадлежит слово. В русской орфографии существует множество омонимичных падежных форм существительных с предлогом и однокоренных наречий, образованных от них с помощью приставки.
Все работники ушли на перерыв.
На какой? перерыв;
на обеденный перерыв.
Между предлогом и словом легко вставляется вопрос или определение в виде прилагательного. Все эти приемы проверки свидетельствуют о том, что слово "на перерыв" в данном контексте является именем существительным, которое в форме винительного падежа пишется раздельно с предлогом на.
Дети наперерыв рассказывали с восторгом о своем путешествии в средневековый замок.
Рассказывали как? наперерыв.
Это слово зависит от глагола-сказуемого и отвечает на обстоятельственный вопрос. Значит, это уже однокоренное наречие, которое с приставкой на- пишется слитно, как и ряд аналогичных наречий:
знать наперечет;
сразить наповал;
бежать наперегонки;
броситься наперерез;
завязать наперекрест;
вертеться напоказ.
Тем не менее существует ряд наречий, которые с предлогом на пишутся раздельно:
на подбор,
на поверку,
на ощупь,
на радость,
на совесть,
на память и др.
Эти наречия сохранили падежную форму исходного существительного. Между предлогом и словом можно вставить вопрос или определение.
В случае затруднения в написании наречий с предлогом-приставкой на справляемся в орфографическом словаре.